密的密码密码态加你走带学的核心解密进格全同奇妙世界
"全同态加密"这个词听起来是不是特别高大上?说实话我刚开始接触的时候也是一头雾水。在上篇文章里,我们聊了FHE的基本概念和发展历程(没看过的朋友可以翻翻我的知乎专栏)。今天,让我们把目光聚焦到一个更基础也更酷炫的话题——格密码学和LWE问题。 记得我第一次听说"格密码学"时,脑海里浮现的是国际象棋棋盘。但实际上,它可是当下密码学圈子的当红炸子鸡!特别是在量子计算机日益逼近的今天,传统的RSA、ECC这些加密算法都面临着巨大挑战。而格密码学却能优雅地说:"量子计算机?我不怕!" 说实话,理解格密码学并没有想象中那么难。只要你还记得大学线性代数课上那些关于向量空间的知识,就足够入门了。(如果已经还给老师了,强烈推荐3Blue1Brown的《线性代数的本质》系列视频,简直是我的救命稻草!) 让我们从最基础的"整数格"开始。想象一下,在二维平面上用整数坐标点连成的网格,这就是最简单的整数格。在这个世界里,有两个特别有趣的数学难题: 1. 最近向量问题(CVP):给你一个格外的点,找到格子里离它最近的点。听起来简单?等你真正尝试计算的时候就会明白什么叫"NP难"问题了。 2. 最短向量问题(SVP):在格子里找到一个最短的非零向量。这个我们暂且按下不表。 还记得高中时解线性方程组的痛苦经历吗?那时候我们总能用高斯消元法找到解。但现在,让我们玩点刺激的——给这些方程加上随机"噪音"。 举个例子:假设我们有方程组:3x + 4y ≈ 72x + 5y ≈ 8这里的"≈"可不是我手抖打错了,而是故意加入的小误差。这就是所谓的"Learning With Errors"(LWE)问题。 说到这个问题,不得不提起密码学圈的"爱恨情仇"。传统的Diffie-Hellman密钥交换依赖的DDH问题简直就是个"矫情的主儿"——在某些特定情况下特别脆弱。相比之下,LWE问题就像个踏实的"理工男",不论什么情况下都保持着稳定的安全性。 这种感觉就像买车:DDH是辆豪华跑车,但可能开着开着就散架;LWE则是辆靠谱的家用车,任何时候都能安全抵达目的地。 终于到了最激动人心的实战环节!2005年,Regev大神基于LWE问题设计了一个超级优雅的公钥加密方案。这个方案的精妙之处在于,它将加密过程转化为格中的向量运算,安全性直接建立在LWE问题的困难性上。 证明它的安全性时,密码学家们用了一个很酷的技巧:"混合论证法"。简单来说,就是把证明过程拆分成多个小步骤,就像搭积木一样一步步构建完整的证明。 今天我们一口气学了好多内容:从整数格到LWE问题,再到Regev加密方案。说实话,掌握了这些概念,你已经摸到全同态加密80%的门道了!接下来的事情就简单了——把这些"积木块"巧妙地组装起来。 由于篇幅限制(其实是怕大家一次性吸收不了太多信息),我们今天就先聊到这里。下期,我将带大家一起用今天学的知识,亲手搭建一个有限级数的全同态加密系统。相信我,那将是一次更加精彩的密码学探险!格密码学:量子时代的密码守护者
整数格:最简单的密码积木
LWE问题:给线性代数加点"噪音"
密码学的美丽与哀愁:LWE vs DDH
实战演练:Regev加密算法
结语:通往全同态加密的最后一块拼图
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